Question

13．已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，满足关系式$2{S_n}=\frac{9}{4}{a_n}-\frac{9}{4}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式是${b_n}=\frac{1}{{（{{log}_3}{a_n}-1）（{{log}_3}{a_n}+1）}}$，前n项和为T_n，求证：对于任意的正整数n，总有${T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程组，利用作差法进行求解，得到故数列{a_n}为等比数列，根据等比数列的通项公式进行求解即可，
（2）求出数列的通项公式，利用裂项法进行求和．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}2{S_n}=\frac{9}{4}{a_n}-\frac{9}{4}\\ 2{S_{n-1}}=\frac{9}{4}{a_{n-1}}-\frac{9}{4}（n≥2）\end{array}\right.$．
两式作差得$2（{S_n}-{S_{n-1}}）=2{a_n}=\frac{9}{4}{a_n}-\frac{9}{4}{a_{n-1}}$
即a_n=9a_n-1（n≥2）
故数列{a_n}为等比数列，且q=9，
又当n=1时，$2{a_1}=\frac{9}{4}{a_1}-\frac{9}{4}$，
∴a₁=9∴${a_n}={9^n}（n≥2）$而a₁=9亦适合上式，
∴${a_n}={9^n}（n∈{N^*}）$．
（2）${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$
所以${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+$$…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=1-\frac{1}{2n+1}＜1$

点评 本题主要考查数列通项公式的求解以及求和的应用，利用方程组法求出数列的通项公式以及利用裂项法进行求和是解决本题的关键．