题目内容

4．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=1-t}\end{array}}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0．
（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）求直线l与曲线C的交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的互化，即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）求出直线l与曲线C的交点的直角坐标，然后化为极坐标即可．

解答 解：（Ⅰ） 由曲线C的极坐标方程ρ+2cosθ=0得ρ2+2ρcosθ=0，即x2+y2+2x=0，
所以曲线C的普通方程为x2+y2+2x=0…（4分）
（Ⅱ）由直线l参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-3+t\\ y=1-t\end{array}\right.$（t为参数），得直线l的普通方程为x+y+2=0，…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}x+y+2=0\\{x^2}+{y^2}+2x=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\end{array}\right.$，…（8分）
所以直线l与曲线C的交点的极坐标分别为$（{\sqrt{2}，\frac{5π}{4}}）$，（2，π）．…（10分）

点评 本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的参数方程与普通方程的互化，考查计算能力．

练习册系列答案
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2．某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研：
项目A：通信设备，根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利40%、损失20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为$\frac{7}{12}$、$\frac{1}{6}$、a．
项目B：新能源汽车，根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b、c．
经测算，当投入A、B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益（即数学期望）也相等．
（1）求a，b，c的值；
（2）若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从风险控制角度为投资公司选择一个合理的项目，说明理由；
（3）若对项目A投资x（0≤x≤100）万元，所获得利润为随机变量Y1，；项目B投资（100-x）万元，所获得利润为随机变量Y2，记f（x）=D（Y1）+D（Y2），当x为何值时，f（x）取到最小值？最小值为多少？
（参考公式：随机变量X的方差：D（X）=$\sum_{i=1}^{n}$（x${\;}_{i}-E（X））^{2}$2pi，D（aX+b）=a2D（x））
3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且椭圆E的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在以A（0，b）为直角顶点且内接于椭圆E的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．
12．函数y=lg（tanx-$\sqrt{3}$）的定义域是$\left\{{x|kπ+\frac{π}{3}＜x＜kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\right\}$．
19．若函数y=f（x）对任意x1，x2∈（0，1]，都有$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|≤π|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|$，则称函数y=f（x）是“以π为界的类斜率函数”．
（I）试判断函数y=$\frac{π}{x}$是否为“以π为界的类斜率函数”；
（Ⅱ）若实数a＞0，且函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2+x+alnx是“以π为界的类斜率函数”，求实数a的取值范围．
9．已知圆C的圆心在坐标原点O，且与直线${l_1}：x-y-2\sqrt{2}=0$相切．
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（2）过点G（1，3）作圆C的切线，求切线的方程．
16．已知cos（π+α）=$\frac{1}{3}$，π＜α＜2π，则sinα的值是（　　）
A．-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$B．$\frac{2\sqrt{2}}{3}$C．-$\frac{2}{3}$D．$\frac{2}{3}$
13．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式$2{S_n}=\frac{9}{4}{a_n}-\frac{9}{4}$．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的通项公式是${b_n}=\frac{1}{{（{{log}_3}{a_n}-1）（{{log}_3}{a_n}+1）}}$，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有${T_n}＜\frac{1}{2}$．
14．已知x，y，z都是正整数，且x2+y2=z2；
（1）求证：x，y，z不可能都是奇数；
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