题目内容
5．已知O为△ABC的外心，3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则∠ACB的值为（ ）| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$ | D． | $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$ |
分析 由3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，移项得3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$=-7$\overrightarrow{OC}$，再平方得：（3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$）2=（7$\overrightarrow{OC}$）2，得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$R2，从而∠AOB=$\frac{π}{3}$，最后根据圆心角等于同弧所对的圆周角的两倍得∠ACB的大小．
解答 解：设外接圆的半径为R，
∵3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$=-7$\overrightarrow{OC}$，
∴（3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$）2=（7$\overrightarrow{OC}$）2，
∴34R2+30$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=49R2，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$R2，
∴cos∠AOB=$\frac{1}{2}$，
∠AOB=$\frac{π}{3}$，
根据圆心角等于同弧所对的圆周角的两倍得：∠ACB=$\frac{π}{6}$，
故选：A．
点评 本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
| A． | $（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}，\frac{π}{6}）$ | B． | $（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$ | C． | $（2\sqrt{2}，\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$ | D． | $（2\sqrt{2}，\frac{π}{3}，\frac{π}{4}）$ |
| A． | -$\frac{1}{18}$ | B． | -$\frac{1}{6}$ | C． | -$\frac{1}{3}$ | D． | -$\frac{1}{2}$ |