Question

12．某保险公司有款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；
（Ⅱ）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份），从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：

X（元）	25	30	38	45	52
销售量y（万份）	7.5	7.1	6.0	5.6	4.8

由上表，知x与y有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为$\widehat{y}$=10.0-bx．
（i）求参数b的估计值；
（ii）若把回归方程$\widehat{y}$=10.0-bx当作y与x的线性关系，用（Ⅰ）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出该最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费×销量．

Answer 1

分析 （i）利用公式，求参数b的估计值；
（ii）设每份保单的保费为20+x元，则销量为y=10-0.1x，则保费收入为f（x）=（20+x）（10-0.1x）万元，f（x）=200+8x-0.1x²=360-0.1（x-40）²，即可得出结论．

解答 解：（i）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（25+30+38+45+52）=38，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（7.5+7.1+6.0+5.6+4.8）=6.2，
所以b=$\frac{10.0-6.2}{38}$=0.10；
（ii）设每份保单的保费为20+x元，则销量为y=10-0.1x，
则保费收入为f（x）=（20+x）（10-0.1x）万元，
f（x）=200+8x-0.1x²=360-0.1（x-40）²，
当x=40元时，保费收入最大为360万元，
保险公司预计获利为360×0.275=99万元．

点评 本题考查回归方程，考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．