Question

4．已知f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）+|2x-7|≥6的解集；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-|x-5|的值域为A，且[-1，2]⊆A，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=2代入f（x），通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2时，不等式即为|x-2|+|2x-7|≥6，
当x≤1时，不等式可化为-（x-2）-（2x-7）≥6，解得：x≤1，
当1＜x＜$\frac{7}{2}$时，不等式可化为（x-2）-（2x-7）≥6，无解，
当x≥$\frac{7}{2}$时，不等式可化为（x-1）+（2x-5）≥6，解得：x≥5，
综上，不等式的解集是{x|x≤1或x≥5}；
（Ⅱ）∵||x-a|-|x-5||≤|x-a-（x-5）|=|a-5|，
∴f（x）-|x-5|=|x-a|-|x-5|∈[-|a-5|，|a-5|]，
∵[-1，2]⊆A，故$\left\{\begin{array}{l}{-|a-5|≤-1}\\{|a-5|≥2}\end{array}\right.$，
解得：a≤3或a≥7，
故a的范围是（-∞，3]∪[7，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．