Question

16．已知A，B，C三点不共线，A，B，D三点共线，$\overrightarrow{CD}$=t$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，则△CDB面积和△CDA的面积之比为1：1．

Answer 1

分析 根据A，B，D三点共线，得出t+（2+t）=1，求出t的值，化简$\overrightarrow{CD}$=t$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，得出$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，D是AB的中点，即可求出面积比是多少．

解答 解：∵A，B，D三点共线，且$\overrightarrow{CD}$=t$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，
∴t+（2+t）=1，
解得t=-$\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$），
即$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$；如图所示，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，即BD=AD；
∴△CDB的面积和△CDA的面积之比为1：1．
故答案为：1：1．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是利用三点共线求出t的值，化简$\overrightarrow{CD}$=t$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，得出D是AB的中点，是综合性题目．