Question

11．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（I）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （I）利用线面垂直的性质定理可得PA⊥BD，PC⊥BD，再利用线面垂直的判定定理即可证明．
（II）由于AB∥CD，只要求出点A到平面PCD的距离即可，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可得出．

解答 （I）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
∴PC⊥BD，又PC∩PA=P，
∴BD⊥平面PAC；
（II）解：∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面 PCD．
∴只要求出点A到平面PCD的距离即可．
过A作AM⊥PD，垂足为M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AM，
CD∩PD=D，
∴AM⊥平面ACD，
∵AM=$\frac{PA•AD}{PD}$=$\frac{1×2}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴点B到平面PCD的距离是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了空间位置关系及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．