Question

7．求y=2x+1+2$\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}$的值域．

Answer 1

分析 先求函数的定义域，然后求函数的导数，利用导数研究是的单调性和极值，利用函数极值和值域之间的关系机进行求解即可．

解答 解：由-x²+2x+3≥0得x²-2x-3≤0得-1≤x≤3，
则函数的导数f′（x）=2+2×$\frac{1}{2}•$$\frac{-2x+2}{\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}}$=2+$\frac{-2x+2}{\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}}$，
由f′（x）=0得2+$\frac{-2x+2}{\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}}$=0，即x-1=$\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}$，
平方得x²-2x+1=-x²+2x+3，
即x²-2x-1=0，解得x=1+$\sqrt{2}$，
即当-1≤x＜1+$\sqrt{2}$时，f′（x）＞0，函数递增，
当1+$\sqrt{2}$＜x≤3时，f′（x）＜0，函数递减，
即当x=1+$\sqrt{2}$时，函数取得极大值，同时也是最大值，此时f（1+$\sqrt{2}$）=3+4$\sqrt{2}$，
∵f（-1）=-2+1=-1，f（3）=6+1=7，
∴函数的最小值为-1，
故函数的值域为[-1，3+4$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查函数的值域的求解，求函数的导数，判断函数的极值和单调性是解决本题的关键．