Question

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过如下五个点中的三个点：P1(-1，-

2

2

)，P₂（0，1），P3(

1

2

，

2

2

)，P4(1，

2

2

)，P₅（1，1）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设点A为椭圆M的左顶点，B，C为椭圆M上不同于点A的两点，若原点在△ABC的外部，且△ABC为直角三角形，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）确定椭圆M经过P1(-1，-

2

2

)，P₂（0，1），P4(1，

2

2

)，代入方程，即可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与椭圆方程联立，利用△ABC为直角三角形，可得直线方程，利用原点在△ABC的外部，即可求△ABC面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由

( 1 2 )2

a2

+

( 2 2 )2

b2

＜

(-1)2

a2

+

(- 2 2 )2

b2

=

12

a2

+

( 2 2 )2

b2

＜

12

a2

+

12

b2

，知P3(

1

2

，

2

2

)和P₅（1，1）不在椭圆M上，即椭圆M经过P1(-1，-

2

2

)，P₂（0，1），P4(1，

2

2

)．
于是a²=2，b²=1．
所以 椭圆M的方程为：

x2

2

+y2=1．…（2分）
（Ⅱ）①当∠A=90°时，设直线BC：x=ty+m，
由

x2+2y2=2 x=ty+m

得（t²+2）y²+2tmy+（m²-2）=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则△=16-8m²+8t²＞0，

y1+y2=- 2tm t2+2 y1y2= m2-2 t2+2

所以kABkAC=

y1

x1+ 2

•

y2

x2+ 2

=

y1y2

(ty1+m+ 2 )(ty2+m+ 2 )

=

y1y2

t2y1y2+t(m+ 2 )(y1+y2)+(m+ 2 )2

=

m- 2

2(m+ 2 )

=-1．
于是m=-

2

3

，此时△=16-

16

9

+8t2＞0，
所以直线BC：x=ty-

2

3

．
因为y1y2=-

16 9

t2+2

＜0，故线段BC与x轴相交于M(-

2

3

，0)，
即原点在线段AM的延长线上，即原点在△ABC的外部，符合题设．…（6分）
所以 S△ABC=

1

2

|AM|•|y1-y2|=

2

3

|y1-y2|=

2 9 [(y1+y2)2-4y1y2]

=

2 9 [( 2 3 2 t t2+2 )2-4(- 16 9 t2+2 )]

=

16 81 × 9t2+16 (t2+2)2

=

16 81 (4- 4t4+7t2 t4+4t2+4 )

≤

8

9

．
当t=0时取到最大值

8

9

．…（9分）
②当∠A≠90°时，不妨设∠B=90°．
设直线AB：x=ty-

2

(t≠0)，由

x2+2y2=2 x=ty- 2

得(t2+2)y2-2

2

ty=0．
所以 y=0或y=

2 2 t

t2+2

．
所以B(

2 t2-2 2

t2+2

，

2 2 t

t2+2

)，由AB⊥BC，可得直线BC：y=-tx+

2 t3

t2+2

．
由

x2+2y2=2 y=-tx+ 2 t3 t2+2

得(t2+2)(2t2+1)y2-2

2

t3y-

8t2(t2+1)

t2+2

=0．
所以 yByC=-

8t2(t2+1)

(t2+2)2(2t2+1)

＜0．
所以线段BC与x轴相交于N(

2 t2

t2+2

，0)．
显然原点在线段AN上，即原点在△ABC的内部，不符合题设．
综上所述，所求的△ABC面积的最大值为

8

9

．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．