Question

一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．
（Ⅰ）从袋中任意取出3个球，求取出的3个球的编号为连续的自然数的概率；
（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设A表示“取出的3个球的编号为连续的自然数”，取出3球的方法有84种，连续自然数的方法：123和234均为

C

1 2

•C

1 2

•C

1 2

=8种，345为

C

1 2

•

C

1 2

•

C

1 1

=4种，由此能求出结果．
（Ⅱ）X的取值为2，3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设A表示“取出的3个球的编号为连续的自然数”，
取出3球的方法有

C

3 9

=84种，
连续自然数的方法：123和234均为

C

1 2

•C

1 2

•C

1 2

=8种，
345为

C

1 2

•

C

1 2

•

C

1 1

=4种，
∴P（A）=

8+8+4

84

=

5

21

．
（Ⅱ）X的取值为2，3，4，5．
P（X=2）=

C 1 2 C 2 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 9

=

1

21

，
P（X=3）=

C 1 2 C 2 4 + C 2 2 C 1 4

C 3 9

=

4

21

，
P（X=4）=

C 1 2 C 2 6 + C 2 2 C 1 6

C 3 9

=

3

7

，
P（X=5）=

C 1 1 C 2 8

C 3 9

=

1

3

．
X的分布列为

X	2	3	4	5
P	1 21	1 24	3 7	1 3

X的数学期望EX=2×

1

21

+3×

4

21

+4×

3

7

+5×

1

3

=

85

21

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．