Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，AD⊥AB，E是PC的中点，PA=BC=2AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求证：DE∥平面PAB；
（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（3）求三棱锥D-PAC的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取PB的中点O，连接OA，OE，四边形DAOE是平行四边形，可得DE∥AO，利用线面平行的判定定理，即可证明DE∥平面PAB；
（2）证明DA⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理即可证得平面PAD⊥平面PAB；
（3）由V_D-PAC=V_P-DAC=V_P-ABC=V_C-PAB=

1

3

S_△PAB•BC即可求得答案．

解答： （1）证明：取PB的中点O，连接OA，OE，则EO∥BC∥DA，且EO=DA，
∴四边形DAOE是平行四边形，
∴DE∥AO，
∵DE?平面PAB，AO?平面PAB，
∴DE∥平面PAB；
（2）证明：∵BC⊥PB，
∴DA⊥PB，
∵AD⊥AB且AB∩PB=B，
∴DA⊥平面PAB，
又∵DA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB；
（2）∵V_D-PAC=V_P-DAC=V_P-ABC=V_C-PAB，
由（1）知DA⊥平面PAB，且AD∥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴V_C-PAB=

1

3

S_△PAB•BC=

1

3

×

1

2

PA×ABsin∠PAB•BC=

1

6

×1×2×

3

2

×1=

3

6

点评：本题考查线面平行，考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的体积，着重考查锥体体积轮换公式的应用，突出化归思想的考查，属于中档题．