Question

已知实数x，y满足xy+1=4x+y，且x＞1，则（x+1）（y+2）的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：可用y表示x，求出y＞4，化简（x+1）（y+2），应用基本不等式，求出最小值．

解答： 解：∵xy+1=4x+y，且x＞1，
∴x=

y-1

y-4

＞1，解得，y＞4，
∴（x+1）（y+2）=xy+2x+y+2=1+2（3x+y）
=1+2（

3y-3

y-4

+y）=1+2[7+（y-4）+

9

y-4

]
≥1+2（7+6）=27．
∴（x+1）（y+2）取最小值为27．
故答案为：27．

点评：本题主要考查基本不等式及应用，解题时应注意变量的范围，同时用一个变量表示另一个变量，这是解题常用的方法，应掌握，最后要检验最值取得的条件．