Question

各项均为正数的数列{a_n}，其前n项和为S_n，满足

an+1

an

-

2an

an+1

=1（n∈N^*），且S₅+2=a₆．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：7（a_n-1）²＞3n+1（n∈N^*）；
（Ⅲ）若n∈N^*，令b_n=a_n²，设数列{b_n}的前n项和为T_n（n∈N^*），试比较

Tn+1+12

4Tn

与

4n+6

4n-1

的大小．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：证明题,压轴题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）把已知的数列递推式变形，整理后得到数列{a_n}是公比为2的等比数列．再由S5+2=a6 列式求得首项，代入等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把a_n-1的表达式代入7（a_n-1）²＞3n+1，然后由数学归纳法证明该不等式；
（Ⅲ）把a_n代入b_n=a_n²，由等比数列的求和公式求得数列{b_n}的前n项和T_n，然后利用作差法比较

Tn+1+12

4Tn

与

4n+6

4n-1

的大小．

解答： （Ⅰ）解：由

an+1

an

-

2an

an+1

=1得，

a

2 n+1

-2

a

2 n

-anan+1=0，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
又a_n＞0，
∴2a_n-a_n+1=0，
∴2a_n=a_n+1，
则数列{a_n}是公比为2的等比数列．
由S5+2=a6 ，得

a1(1-25)

1-2

=a1•25，解得a₁=2．
故数列{a_n}的通项公式为an=2n(n∈N*)；
（Ⅱ）证明：要证7（a_n-1）²＞3n+1，
即证7•4^n-1＞3n+1．
①当n=1时，7•4⁰=7＞3×1+1=4，不等式显然成立；
②假设当n=k时，不等式7•4^k-1＞3k+1成立，
那么，当n=k+1时，7×4^k=4×7×4^k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1．
综①②所述，对任意的n∈N^*，均有7•4^k-1＞3n+1，
∴7(an-1)2＞3n+1    (n∈N*)成立．
（Ⅲ）解：∵bn=an2=22n=4n，即数列{b_n}是首项为4，公比是4的等比数列．
∴Tn=

4(1-4n)

1-4

=

4

3

(4n-1)，

Tn+1+12

4Tn

=

4n+1+8

4(4n-1)

=1+

3

4n-1

，
又

4n+6

4n-1

=1+

7

4n-1

，
∴

Tn+1+12

4Tn

-

4n+6

4n-1

=

3

4n-1

-

7

4n-1

=

4(3n+1-7•4n-1)

(4n-1)(4n-1)

＜0．
∴对任意的n∈N^*均有

Tn+1+12

4Tn

＜

4n+6

4n-1

．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了等比关系的确定，训练了利用数学归纳法证明不等式，考查了等比数列的前n项和，训练了作差法比较两个数的大小，是难题．