Question

设函数f（x）=x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）判断导函数的正负性，求出原函数的单调区间；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，1]上是减函数，即f′（x）≤0在（0，1]上恒成立；
（Ⅲ）设出切点，利用低斜率的两种表示，列出等式，再根据函数是单调函数，且存在零点，从而说明存在唯一零点．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²+x-lnx（x＞0），∴f′(x)=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

，
当x∈(0 ， 

1

2

) ， f′(x)＜0 ， x∈(

1

2

 ， +∞) ， f′(x)＞0，
∴f（x）的单调递减区间为(0 ， 

1

2

)，单调递增区间(

1

2

 ， +∞)．
（Ⅱ）f′(x)=2x+a-

1

x

，∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，
即2x+a-

1

x

≤0对任意x∈（0，1]恒成立，∴a≤

1

x

-2x对任意x∈（0，1]恒成立，
令g(x)=

1

x

-2x，∴a≤g（x）_min，
易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）_min=g（1）=-1．∴a≤-1．
（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），f′(x)=2x+a-

1

x

，
切线的斜率k=2t+a-

1

t

，又切线过原点k=

f(t)

t

，

f(t)

t

=2t+a-

1

t

，即：t²+at-lnt=2t²+at-1，∴t²-1+lnt=0，
令g（t）=t²-1+lnt，g′(t)=2t+

1

t

＞0，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，
又g（1）=0，所以方程t²-1+lnt=0有唯一解t=1．
综上，切点的横坐标为1．

点评：本题是一道函数与导数性质的应用题，由恒成立，求式中参数的值，求切点与切线的问题，运用了方程，转化思想，属于常见题型．