题目内容
设平面向量
=（cos2
，
sinx），
=（2，1），函数f（x）=
•
．
（Ⅰ）当x∈[-
，
]时，求函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）当f（α）=
，且-
＜α＜
时，求sin（2α+
）的值．
| m |
| x |
| 2 |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
（Ⅰ）当x∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）当f（α）=
| 13 |
| 5 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的定义域和值域
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（Ⅰ）由向量数量积的坐标运算求得函数f（x）并化简，然后结合x的范围求得函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）由f（α）=
，且-
＜α＜
求得sin(α+
)，cos(α+
)的值，再由倍角公式求得sin（2α+
）的值．
（Ⅱ）由f（α）=
| 13 |
| 5 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
解答：
解析：（Ⅰ）∵
=（cos2
，
sinx），
=（2，1），
∴f(x)=(cos2
，
sinx) •(2， 1)=2cos2
+
sinx
=cosx+
sinx+1=2sin(x+
)+1．
当x∈[-
，
] 时，x+
∈[-
，
]，
则-
≤sin(x+
)≤1，0≤2sin(x+
)+1≤3，
∴f（x）的取值范围是[0，3]；
（Ⅱ）由f(α)=2sin(α+
)+1=
，得sin(α+
)=
，
∵-
＜α＜
，
∴-
＜α+
＜
，得cos(α+
)=
，
∴sin(2α+
)=sin[2(α+
)]=2sin(α+
)cos(α+
)=2×
×
=
．
| m |
| x |
| 2 |
| 3 |
| n |
∴f(x)=(cos2
| x |
| 2 |
| 3 |
| x |
| 2 |
| 3 |
=cosx+
| 3 |
| π |
| 6 |
当x∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
则-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴f（x）的取值范围是[0，3]；
（Ⅱ）由f(α)=2sin(α+
| π |
| 6 |
| 13 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
∵-
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
∴sin(2α+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 24 |
| 25 |
点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查了三角函数中的恒等变换的应用，训练了由已知三角函数的值求其它三角函数值，是中档题．
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如图，f（x）=Asin（2ωx+φ）（ω＞0，A＞0，-π＜φ＜0）．
