Question

19．已知在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n+6，n∈N^*
（1）求证：数列{a_n+2}为等比数列；
（2）求数列{（-1）ⁿna_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=4a_n+6变形可知a_n+1+2=4（a_n+2），进而可知数列{a_n+2}是首项、公比均为4的等比数列；
（2）通过（1）可知（-1）ⁿna_n=（-1）ⁿ⁺¹（2n）+n（-4）ⁿ，通过分类讨论可知数列{（-1）ⁿ⁺¹（2n）}的前n项和，利用错位相减法计算可知数列{n（-4）ⁿ}的前n项和，进而相加即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=4a_n+6，
∴a_n+1+2=4（a_n+2），
又∵a₁+2=2+2=4，
∴数列{a_n+2}是首项、公比均为4的等比数列；
（2）解：由（1）可知a_n+2=4ⁿ，即a_n=-2+4ⁿ，
∴（-1）ⁿna_n=（-1）ⁿn（-2+4ⁿ）=（-1）ⁿ⁺¹（2n）+n（-4）ⁿ，
记数列{（-1）ⁿ⁺¹（2n）}、{n（-4）ⁿ}的前n项和分别为A_n、B_n，
当n为奇数时，A_n=（2-4）+…+[2（n-2）-2（n-1）]+2n=-2•$\frac{n-1}{2}$+2n=n+1；
当n为偶数时，A_n=（2-4）+…+[2（n-1）-2n]=-2•$\frac{n}{2}$=-n；
∴A_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+1，}&{n为奇数}\\{-n，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
∵B_n=1•（-4）¹+2•（-4）²+…+n•（-4）ⁿ，
-4B_n=1•（-4）²+2•（-4）³+…+（n-1）•（-4）ⁿ+n•（-4）ⁿ⁺¹，
∴5B_n=（-4）¹+（-4）²+（-4）³+…+（-4）ⁿ-n•（-4）ⁿ⁺¹
=$\frac{-4[1-（-4）^{n}]}{1-（-4）}$-n•（-4）ⁿ⁺¹
=-$\frac{4}{5}$-$\frac{1+5n}{5}$•（-4）ⁿ⁺¹，
∴B_n=-$\frac{4}{25}$-$\frac{1+5n}{25}$•（-4）ⁿ⁺¹，
又∵S_n=A_n+B_n，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+1-\frac{4}{25}-\frac{1+5n}{25}（-4）^{n+1}，}&{n为奇数}\\{-n-\frac{4}{25}-\frac{1+5n}{25}（-4）^{n+1}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．