Question

已知M（2，2

2

）为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设A、B抛物线C上异于原点O的两点且∠AOB=90°，求证：直线AB恒过定点，并求出该定点坐标；
（3）在（2）的条件下，若过原点O向直线AB作垂线，求垂足P（x，y）的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由M（2，2

2

）为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，能求出p=2，由此能求出抛物线C的标准方程．
（2）设直线l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立y²=4x，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，由此利用韦达定理、向量知识结合已知条件能证明直线恒过定点N（4，0）．
（3）由已知条件推导出P点在以ON为直径的圆周上（除去原点），由此能求出点P的轨迹方程．

解答： （1）解：∵M（2，2

2

）为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，
∴(2

2

)2=2p•2，解得p=2，
∴抛物线C的标准方程为y²=4x．（3分）
（2）证明：当直线的斜率存在时，
设直线l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立y²=4x，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
依题意有k≠0，x1+x2=-

2km-4

k2

，且x1x2=

m2

k2

，
则∠AOB=90°，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2
=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
(1+k2)

m2

k2

+km(-

2km-4

k2

)+m2=0，
化简得m²+4km=0，
∴m=-4k，此时直线l：y=kx-4k=（x-4）k，恒过点N（4，0）
当直线l的斜率不存在时，
设l：x=t，解得t=4，∴直线恒过定点N（4，0）．（8分）
（3）解：过原点O向直线AB：y=k（x-4）垂线，垂中为P，
则P点在以ON为直径的圆周上（除去原点），
∵O（0，0），N（4，0），
∴点P的轨迹方程为：（x-2）²+y²=4（x≠0）．（12分）

点评：本题考查抛物线的标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查垂足的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．