Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，
（2）由（1）知，c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，利用错位相减法即可求得T_n．

解答： 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，
当n=1时，a₁=S₁=4-2=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
a₁=2适合上式．
∴a_n=2ⁿ；
∵b₁，b₃，b₁₁成等比数列，
∴b32=b1b11，即（2+2d）²=2（2+10d），解得d=3，d=0（舍去），
∴b_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）由（1）知，c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，
∴T_n=2•2¹+5•2²+8•2³+…+（3n-1）•2ⁿ①，
2T_n=2•2²+5•2³+8•2⁴+…+（3n-1）•2ⁿ⁺¹②，
①-②，得-T_n=2•2+3•2²+3•2³+…+3•2ⁿ-（3n-1）•2ⁿ⁺¹
=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-1）•2ⁿ⁺¹-2
=3•

2(1-2n)

1-2

-（3n-1）•2ⁿ⁺¹-2
=（4-3n）•2ⁿ⁺¹-8，
∴T_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8．

点评：该题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查数列的求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．