Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面EBD；
（Ⅱ）若PA=AB=2，直线PB与平面EBD所成角的正弦值为

1

4

，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又BD⊥PC，根据线面垂直的判定定理推断出BD⊥平面PAC，根据BD?平面EBD，进而可知平面PAC⊥平面EBD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，推断出ABCD是菱形，BC=AB=2．设AC∩BD=O，建立如图所示的坐标系O-xyz，设OB=b，OC=c，
进而表示出P，B，E，C．

PB

，

OB

，

OE

．设n=（x，y，z）是面EBD的一个法向量，则n•

OB

=n•

OE

=0，即

bx=0 -cy+z=0

取n=（0，1，c），求得BC．记直线PB与平面EBD所成的角为θ，由已知条件根据向量的数量积求得sinθ求得b和c，
进而求得四棱锥P-ABCD的体积

解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又BD⊥PC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面EBD，
∴平面PAC⊥平面EBD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，
∴ABCD是菱形，BC=AB=2．
设AC∩BD=O，建立如图所示的坐标系O-xyz，设OB=b，OC=c，
则P（0，-c，2），B（b，0，0），E（0，-c，1），C（0，c，0）．

PB

=（b，c，-2），

OB

=（b，0，0），

OE

=（0，-c，1）．
设n=（x，y，z）是面EBD的一个法向量，则n•

OB

=n•

OE

=0，
即

bx=0 -cy+z=0

取n=（0，1，c）．
依题意，BC=

b2+c2

=2．①
记直线PB与平面EBD所成的角为θ，由已知条件
sinθ=

|n• PB |

|n|•|PB|

=

c

(1+c2)(b2+c2+22)

=

1

4

．②
解得b=

3

，c=1．
所以四棱锥P-ABCD的体积
V=

1

3

×2OB•OC•PA=

1

3

×2

3

×1×2=

4 3

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的运用，法向量的应用等知识．注重了对学生分析问题和推理能力的考查．