题目内容
已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
| π |
| 3 |
| A、2 | ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、4 |
考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得到结论．
解答：
解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1MF2=
，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2-2r1r2cos
，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2-3r1r2，
即
=
-1，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即
=1-
，③
联立②③得，
+
=4，
由柯西不等式得（1+
）（
+
）≥（1×
+
×
）2，
即（
+
）2≤
×4=
，
即
+
≤
，
当且仅当e1=
，e2=
时取等号．即取得最大值且为
．
故选C．
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1MF2=
| π |
| 3 |
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2-2r1r2cos
| π |
| 3 |
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2-3r1r2，
即
| 3r1r2 |
| 4c2 |
| 1 |
| e12 |
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即
| r1r2 |
| 4c2 |
| 1 |
| e22 |
联立②③得，
| 1 |
| e12 |
| 3 |
| e22 |
由柯西不等式得（1+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| e12 |
| 3 |
| e22 |
| 1 |
| e1 |
| 1 | ||
|
| ||
| e2 |
即（
| 1 |
| e1 |
| 1 |
| e2 |
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
即
| 1 |
| e1 |
| 1 |
| e2 |
4
| ||
| 3 |
当且仅当e1=
| ||
| 3 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
故选C．
点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
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已知集合A={x丨1＜x≤3}，B={x丨x＜a}，若A⊆B，则实数a满足的条件为（ ）
| A、a＞1 | B、a≥1 |
| C、a≥3 | D、a＞3 |
设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当
+
取得最小值时，实数a的值是（ ）
| 1 |
| 3|a| |
| |a| |
| b |
A、
| ||||
B、-
| ||||
C、-
| ||||
| D、3 |