Question

设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值时，实数a的值是（　　）

• A、

  3

  2

• B、-

  3

  2

• C、-

  3

  2

  或

  3

  4

• D、3

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：a+b=3，b＞0，可得b=3-a＞0，a＜3，且a≠0．分类讨论：当0＜a＜3时，

1

3|a|

+

|a|

b

=

1

3a

+

a

b

=

1

3a

+

a

3-a

=f（a）；当a＜0时，

1

3|a|

+

|a|

b

=-（

1

3a

+

a

b

）=-（

1

3a

+

a

3-a

）=f（a），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3-a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，

1

3|a|

+

|a|

b

=

1

3a

+

a

b

=

1

3a

+

a

3-a

=f（a），
f′（a）=-

1

3a2

+

3

(3-a)2

=

(2a+3)(4a-3)

3a2(3-a)2

，
当

3

4

＜a＜3时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当0＜a＜

3

4

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=

3

4

时，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值．
②当a＜0时，

1

3|a|

+

|a|

b

=-（

1

3a

+

a

b

）=-（

1

3a

+

a

3-a

）=f（a），
f′（a）=

1

3a2

-

3

(3-a)2

=-

(2a+3)(4a-3)

3a2(3-a)2

，
当-

3

2

＜a＜0时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当a＜-

3

2

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=-

3

2

时，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值．
综上可得：当a=-

3

2

或

3

4

时，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值．
故选：C．

点评：本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．