Question

投掷四枚不同的金属硬币A、B、C、D，假定A、B两枚正面向上的概率均为

1

2

，另两枚C、D为非均匀硬币，正面向上的概率均为a（0＜a＜1），把这四枚硬币各投掷一次，设X表示正面向上的枚数．
（1）若A、B出现一枚正面向上一枚反面向上与C、D出现两枚正面均向上的概率相等，求a的值；
（2）求X的分布列及数学期望（用a表示）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由题意，得2×

1

2

(1-

1

2

)=a2，由此能求出a．
（2）由已知得X=0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望（用a表示）．

解答： 解：（1）∵A、B出现一枚正面向上一枚反面向上与C、D出现两枚正面均向上的概率相等，
∴由题意，得2×

1

2

(1-

1

2

)=a2，
解得a=

2

2

．
（2）由已知得X=0，1，2，3，4，
P（X=0）=

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2=

1

4

(1-a)2，
P（X=1）=

C

1 2

×

1

2

×(1-

1

2

)

C

0 2

(1-a)2+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a)，
P（X=2）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2+

C

1 2

•

1

2

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

2 2

a2=

1

4

(1+2a-2a2)，
P（X=3）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)+

C

1 2

•

1

2

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

a

2

，
P（X=4）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

2 2

a2=

1

4

a2，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	1 4 (1-a2)	1 2 (1-a)	1 4 (1+2a-2a2)	a 2	1 4 a2

EX=1×

1

2

(1-a)+2×

1

4

(1+2a-2a2)+3×

a

2

+4×

1

4

a2=2a+1．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．