Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，已知f（1）=2
（Ⅰ）求f（0），f（-1）的值；
（Ⅱ）若x＞0时，恒有f（x）＞1．判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．
（Ⅲ）若f（1+m）＜f（1-2m），求m的范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用赋值法即可求f（0），f（-1）的值；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义结合抽象函数的关系即可判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．
（Ⅲ）根据函数的单调性即可解不等式f（1+m）＜f（1-2m）．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）-1，
即f（0）=1，
令x=1，y=-1得f（0）=f（1）+f（-1）-1=1，
即f（-1）=2-f（1）=2-2=0；
（Ⅱ）函数f（x）在R上的单调性递增．
证明：设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-1-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1
∵x＞0时，恒有f（x）＞1．
∴f（x₁-x₂）＞1，即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1＞0，
即函数f（x）在R上的单调递增．
（Ⅲ）∵函数f（x）在R上的单调递增，
∴若f（1+m）＜f（1-2m），
则1+m＜1-2m，
即m＜0，
故m的范围是（-∞，0）．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解集抽象函数的基本方法，结合函数单调性的定义是判断函数单调性的关键．