Question

2．斜率是1的直线与椭圆${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$交于A、B两点，P为线段AB上的点，且AP=2PB，则点P的轨迹方程是148x²+13y²+64xy-20=0（在椭圆内）．

Answer 1

分析 设直线l的方程，代入椭圆方程，由x₁，x₂是方的两个根，分别求得x₁，x₂，由AP=2PB，求得x′=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，代入即可即可求得P的轨迹方程．

解答 解：设动点为P（x′，y′），则过y=x+（y′-x′）$\left\{\begin{array}{l}{y=x+（y′-x′）}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+2（y′-x′）x+（y′-x′）²-4=0，（※）
若直线l椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，则x₁，x₂是方程（※）的两个根，且
x₁=$\frac{-（y′-x′）-2\sqrt{5-（y′-x′）^{2}}}{5}$，①
x₂=$\frac{-（y′-x′）+2\sqrt{5-（y′-x′）^{2}}}{5}$，②
由AP=2PB，x₁＜x₂，则x′=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，
代入整理得：4x′+y′=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5-（y′-x′）^{2}}$，丨y′-x′丨＜$\sqrt{5}$，
两边同时平方：148x′²+13y′²+64x′y′-20=0，
∴点P的轨迹方程148x²+13y²+64xy-20=0（在椭圆内）．
故答案为：148x²+13y²+64xy-20=0（在椭圆内）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，轨迹方程求法，考查计算能力，属于中档题．