Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=4，E、F分别为AA₁、BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面BEC₁；
（Ⅱ）求点C到平面BEC₁的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BC₁的中点为R，连接RE，RF，由已知条件得四边形AFRE为平行四边形，由此能证明AF∥平面REC₁．
（Ⅱ）设点C到平面BEC₁的距离为h，由等体积法能求出点C到平面BEC₁的距离．

解答： （Ⅰ）证明：取BC₁的中点为R，连接RE，RF，
RF

∥ .

.

1

2

CC1，AE

∥ .

.

1

2

CC1，∴AE

∥ .

.

RF，
∴四边形AFRE为平行四边形，
则AF∥RE，又AF?平面BEC₁，RE⊆平面BEC₁，
则AF∥平面REC₁．…（6分）
（Ⅱ）解：设点C到平面BEC₁的距离为h，
∵AF⊥BC，AF⊥BB₁，BC∩BB₁=B，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，∴ER⊥平面BB₁C₁C．
由等体积法得：
VC-BEC1=VE-BCC1，
则

1

3

S△BEC1•h=

1

3

S△BCC1•RE，
解得h=

4 5

5

．
∴点C到平面BEC₁的距离为

4 5

5

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．