Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为：

x= 3 cosθ y=2sinθ

（θ为参数），以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₁的普通方程；
（Ⅱ）在曲线C₁上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用同角三角函数的基本关系把曲线C₁的参数方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ）设点P（

3

cosθ，2sinθ），求得点P到直线l的距离为d=

|4sin( π 3 -θ)-6|

5

，利用正弦函数的值域求得d的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）直线l的方程为：ρ（2cosθ-sinθ）=6，即 2x-y-6=0．
曲线C₁的参数方程为：

x= 3 cosθ y=2sinθ

（θ为参数），普通方程为

x2

3

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）设点P（

3

cosθ，2sinθ），
则点P到直线l的距离为d=

|4sin( π 3 -θ)-6|

5

=

|4sin( π 3 -θ)-6|

5

，
故当sin（

π

3

-θ）=-1时，d取得最大值为2

5

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，两角和的正弦公式、正弦函数的值域，属于基础题．