Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a，x＜0 lnx，x＞0

，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．
（1）指出函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,对数函数的单调性与特殊点,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；
（2）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx₂+（ 

1

2x2

-1）²-1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）的单调减区间（-∞，-1），函数f（x）的单调增区间[-1，0），（0，+∞）；
（2）当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为y-（x₁²+2x₁+a）=（2x₁+2）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx₂=

1

x2

（x-x₂）；
两直线重合的充要条件是

1 x2 =2x1+2…① lnx2-1=-x12+a…②

，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜

1

x2

＜2，由①②得a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1=-ln

1

x2

+

1

4

（

1

x2

-2）²-1，
令t=

1

x2

，则0＜t＜2，且a=

1

4

t²-t-lnt，设h（t）=

1

4

t²-t-lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=

1

2

t-1-

1

t

=

(t-1)2-3

2t

＜0，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（-ln2-1，+∞）．

点评：本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．