Question

16．已知a＞0，设命题p：函数f（x）=x²-2ax+1-2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点；命题q：g（x）=|x-a|-ax有最小值．若（￢p）∧q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由（￢p）∧q是真命题，得：p假且q真；分别求出命题p，q为真假是参数a的范围，可得答案．

解答 解：若p真，则$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ 0＜a＜1\\ f（0）≥0\\ f（1）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+2a-1＞0\\ 0＜a＜1\\ 1-2a≥0\\ 2-4a≥0\end{array}\right.$
∴$\sqrt{2}-1$＜a≤$\frac{1}{2}$．
若q真，g（x）=|x-a|-ax=$\left\{\begin{array}{l}（1-a）x-a，x≥a\\-（1+a）x+a，x＜a\end{array}\right.$，
∵a＞0，
∴-（1+a）＜0，
即g（x）在（-∞，a）单调递减的，要使g（x）有最小值，则g（x）在[a，+∞）增或为常数，
即1-a≥0，
∴0＜a≤1，
若（￢p）∧q是真命题，则p为假命题且q为真命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜a≤\sqrt{2}-1，或a＞\frac{1}{2}\\ 0＜a≤1\end{array}\right.$
解得：a∈（0，$\sqrt{2}-1$]∪（$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数的零点，函数的最值等知识点，难度中档．