Question

13．已知命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{m-2}$+$\frac{{y}^{2}}{m-5}$=1表示双曲线，命题q：x∈（0，+∞），x²-mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且綈（p∧q）也是真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 求出两个命题是真命题时的m的范围，利用复合命题的真假写出结果即可．

解答 解：p真时有：（m-2）（m-5）＜0即2＜m＜5；（3分）
q真时有：m≤$\frac{{x}^{2}+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$，对x∈（0，+∞）恒成立，即m≤$（x+\frac{4}{x}）_{min}$，
而x∈（0，+∞）时，x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当x=2时取等号．即m≤4．（7分）
由p∨q是真命题，且綈（p∧q）也是真命题得：p与q为一真一假；（9分）
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}2＜m＜5\\ m＞4\end{array}$，可得4＜m＜5；
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}m≤2或m≥5\\ m≤4\end{array}$，解得m≤2；（11分）
综上，所求m的取值范围是（-∞，2]∪（4，5）．（12分）

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，双曲线的简单性质以及函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．