Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωxcosωx，函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．
（1）求函数的解析式；
（2）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求函数的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的公式将函数进行化简，结合三角函数的周期公式进行求解即可．
（2）求出角2x-$\frac{π}{6}$的范围，结合正弦函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωxcosωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，
解答ω=1．
∴f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
（2）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
根据正弦函数的图象可得：
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{3}$时，g（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）取最大值1
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$即x=-$\frac{π}{12}$时  g（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）取最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
即f（x）的值域为[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期公式，利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．