Question

16．已知函数$f（x）=sin（{\frac{3π}{4}-x}）-\sqrt{3}cos（{x+\frac{π}{4}}），x∈R$，则f（x）是（　　）

• A． 周期为π，图象关于点$（{\frac{π}{12}，0}）$对称的函数
• B． 最大值为2，图象关于点$（{\frac{π}{12}，0}）$对称的函数
• C． 周期为2π，图象关于点$（{-\frac{π}{12}，0}）$对称的函数
• D． 最大值为2，图象关于直线$x=\frac{5π}{12}$对称的函数

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、最大值以及它的图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：由于函数$f（x）=sin（{\frac{3π}{4}-x}）-\sqrt{3}cos（{x+\frac{π}{4}}），x∈R$，
即f（x）=sin[π-（$\frac{3π}{4}$-x）]-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）=2sin（x+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）
=2sin（x-$\frac{π}{12}$），
故函数f（x）的周期为2π，最大值为2，当x=$\frac{π}{12}$时，f（x）=0，故B对且A不对；
根据当x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）=-1，故函数的图象不关于点$（{-\frac{π}{12}，0}）$对称，故C不对；
再根据当x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）=$\sqrt{3}$，不是最值，故函数的图象不关于直线$x=\frac{5π}{12}$对称，故D不对，
故选：B．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最大值以及它的图象的对称性，属于中档题．