Question

5．已知数列{a_n}的前n项和记为T_n，a_n+1=2T_n+1（n≥1），a₁=1；等差数列{b_n}中，且{b_n}的前n项和为S_n，b₁=3，a₃+S₃=27．
（1）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{3}{{b}_{n+1}lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$，求{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=2T_n+1（n≥1），n≥2时，a_n=2T_n-1+1，相减可得：a_n+1=3a_n，验证n=1时是否成立，利用等比数列的通项公式即可得出．设等差数列{b_n}的公差为d，由b₁=3，a₃+S₃=27，利用等差数列的求和公式即可得出b_n．
（2）c_n=$\frac{3}{{b}_{n+1}lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{3（n+1）•n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=2T_n+1（n≥1），
∴n≥2时，a_n=2T_n-1+1，相减可得：a_n+1-a_n=2a_n，化为：a_n+1=3a_n，
n=1时，a₂=2a₁+1=3=3a₁，因此上式也成立．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为3．
∴a_n=3^n-1．
设等差数列{b_n}的公差为d，∵b₁=3，a₃+S₃=27，
∴3²+3×3+$\frac{3×2}{2}d$=27，解得d=3．
∴b_n=3+3（n-1）=3n．
（2）c_n=$\frac{3}{{b}_{n+1}lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{3（n+1）•n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴{c_n}的前n项和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．