Question

6．已知数列{a_n}的首项a₁=2，a_n+1=2a_n-1（n∈N*）
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前5项，并归纳猜想{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中所猜想的通项公式．

Answer 1

分析 （I）根据递推公式计算并猜想通项公式；
（II）先验证n=1，假设n=k猜想成立，再利用递推公式得出a_k+1即可得出结论．

解答 解：（I）a₁=2，a₂=3，a₃=5，a₄=9，a₅=17．
猜想：a_n=2^n-1+1．
（II）证明：当n=1时，猜想显然成立，
假设n=k（k≥1）时，猜想成立，即a_k=2^k-1+1，
∴a_k+1=2a_k-1=2（2^k-1+1）-1=2^k+1，
即n=k+1时，猜想成立，
∴a_n=2^n-1+1（n∈N^*）恒成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．