Question

7．在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC
（2）求证：PB⊥AC．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于点O，则OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．
（2）设AD中点为F，连接BF、PF，推导出AC⊥BF，PF⊥AD，从而PF⊥AC，由此能证明AC⊥PB．

解答 证明：（1）连接BD交AC于点O，
∵ABCD是矩形，∴O是BD中点，…（1分）
又∵E是PD中点，
∴OE是△DBP的中位线，
∴OE∥PB，…（2分）
∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，…（4分）
∴PB∥平面AEC． …（5分）
（2）设AD中点为F，连接BF、PF．
∵PA=PD=AB=a，
∴AD=BC=$\sqrt{2}a$，AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，∴$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$．
△△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，…（8分）
又PA=PD，F是AD的中点，∴PF⊥AD，…（9分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PF?平面PAD，
∴PF⊥面ABCD，…（10分）
∵AC?平面ABCD，∴PF⊥AC，
∵PF∩BF=F，…（11分）
∴AC⊥平面PBF，∵PB?平面ABCD，
∴AC⊥PB．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．