题目内容
8．已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则（ ）| A． | x1+x2＞1 | B． | x1+x2＜1 | C． | $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＜$\frac{1}{e}$ | D． | $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞$\frac{1}{e}$ |
分析 推导出（x1+x2）（$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$）≥4，$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$＜e，由此能推导出${x}_{1}+{x}_{2}＞\frac{4}{e}$＞1．
解答 解：∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=＜e，
而（x1+x2）（$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$）=1+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+1≥2+2$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$=4．
即（x1+x2）（$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$）≥4，
又$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$＜e，
∴${x}_{1}+{x}_{2}＞\frac{4}{e}$＞1．
故选：A．
点评 本题考查有理数指数幂，是中档题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．
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