Question

8．在Rt△AOB中，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{5}$，AB边上的高为OD，D在AB上，点E位于线段OD上，若$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=$\frac{3}{4}$，则向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$
• B． 1
• C． 1或$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形求出AB、OD的长，再根据数量积与投影的定义，列出方程求出结果．

解答 解：如图所示，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即OA⊥OB，
∴AB=$\sqrt{{OA}^{2}{+OB}^{2}}$=5；
又OD为AB边上的高，
∴OD⊥AB，
∴OD=$\frac{OA×OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{5}$=2，
∴$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=|$\overrightarrow{OE}$|•|$\overrightarrow{EA}$|cos∠AED=|$\overrightarrow{OE}$|•|$\overrightarrow{ED}$|=$\frac{3}{4}$；
设|$\overrightarrow{ED}$|为x，则x（2-x）=$\frac{3}{4}$，
解得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影为|$\overrightarrow{ED}$|=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查平面向量的数量积与向量投影的定义和应用问题，是综合性题目．