Question

10．双曲线E₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，椭圆E₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线E₁有公共的焦点，且E₁，E₂在第一象限和第四象限的交点分别为M，N，弦MN过F₂，则椭圆E₂的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{\frac{81}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{45}{4}}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{13}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，然后求解椭圆与双曲线的交点坐标，代入椭圆方程，求解即可．

解答 解：双曲线E₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左右焦点分别为F₁（-3，0），F₂（3，0），
椭圆E₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线E₁有公共的焦点，
可得椭圆c=3，且E₁，E₂在第一象限和第四象限的交点分别为M，N，
弦MN过F₂，可得双曲线与椭圆的交点坐标M（3，$\frac{5}{2}$），
可得：$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{25}{4（{a}^{2}-9）}=1$，解得a=$\frac{9}{2}$，则b=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
所求的椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{81}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{45}{4}}$=1．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质以及双曲线简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．