Question

9．已知函数f（x）=ax-lnx，函数g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx，a∈R且b≠0．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a=1，且对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）+g（x₂）=0成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）设h（x）=-f（x）在（1，2）上的值域是A，函数g（x）在（1，2）上的值域是B，则A⊆B，根据函数的单调性分别求出集合A、B，从而求出b的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）递减，
a＞0时，由f′（x）＞0，得：x＞$\frac{1}{a}$，由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增；
（2）∵对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），
使得f（x₁）+g（x₂）=0，
∴对任意的x₁∈（1，2），
总存在x₂∈（1，2），使得g（x₂）=-f（x₁），
设h（x）=-f（x）在（1，2）上的值域是A，
函数g（x）在（1，2）上的值域是B，则A⊆B，
当x∈（1，2）时，h′（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0，
即函数h（x）在（1，2）上递减，
∴h（x）∈（ln2-2，-1），
g′（x）=bx²-b=b（x+1）（x-1），
①当b＜0时，g（x）在（1，2）是减函数，
此时，g（x）的值域是B=（$\frac{2}{3}$b，-$\frac{2}{3}$b），
∵A⊆B，又-$\frac{2}{3}$b≥0＞-1，
∴$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，
即b≤$\frac{3}{2}$ln2-3，
②当b＞0时，g（x）在（1，2）上是指数，
此时，g（x）的值域是B=（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{2}{3}$b），
∵A⊆B，
∴-$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，
∴b≥-$\frac{3}{2}$（ln2-2）=3-$\frac{3}{2}$ln2，
综上可得b的范围是（-∞，$\frac{3}{2}$ln2-3]∪[3-$\frac{3}{2}$ln2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及集合的包含关系，是一道中档题．