Question

1．已知函数f（x）=e^x-ax-a，g（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+$\frac{16}{3}$．
（1）讨论f（x）零点的个数；
（2）若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过a的讨论，求出函数的极小值，判断零点个数．
（2）通过函数的导数，利用函数的最值，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）当a＜0时，由e^x=a（x+1），考查y=e^x与y=a（x+1）的图象知只有一个零点；
当a=0时，无零点；
当a＞0时，f′（x）=e^x-a=0，x=lna，f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=-alna，
若a＞1，f（lna）=-alna＜0，有两个零点，
若a=1，f（lna）=0，有一个零点，
若0＜a＜1，f（lna）＞0，无零点．
综上，当a＜0或a=1时，有一个零点；当0≤a＜1时，无零点；当a＞1时，有两个零点．（6分）
（2）由已知当x∈[-1，2]时，f（x）_min≥g（x）_min．
当a≤0时，f′（x）=e^x-a＞0，f（x）_min=f（-1）=$\frac{1}{e}$，
g′（x）=（x-1）（x-3），g（x）在[-1，1]上递增，
在[1，2]上递减，g（-1）=0，g（2）=6，g（x）_min=0，f（x）_min≥g（x）_min．
当a＞0时，f′（x）=e^x-a=0，x=lna，f（x）在（-∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增．
若lna≤-1即0＜a≤$\frac{1}{e}$，f（x）_min=f（-1）=$\frac{1}{e}$，满足f（x）_min≥g（x）_min，
若-1＜lna＜2即$\frac{1}{e}$＜a＜e²，f（x）_min=f（lna）=-alna，由-alna≥0解得$\frac{1}{e}$＜a≤1，
若lna≥2即a≥e²，f（x）在[-1，2]上递减，
f（x）_min=f（2）=e²-3a＜0，不满足条件．
综上可知a的取值范围是（-∞，1]．（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的零点个数的判断，考查分类讨论思想的应用，是中档题．