题目内容
13．证明：若 n∈N +，则3 2n+3-24n+37能被64整除．分析 把已知式按照二项式定理展开，并花简为27（${C}_{n}^{2}$ 82+…+${C}_{n}^{n}$•8n）+64+192n，可得它能被64整除．
解答 证明：∵3 2n+3-24 n+37=27•9 n-24 n+37=27（1+8）n-24 n+37=27（${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•8+${C}_{n}^{2}$ 82+…+${C}_{n}^{n}$•8n）-24 n+37
=27（${C}_{n}^{2}$ 82+…+${C}_{n}^{n}$•8n）+27+216n-24 n+37=27（${C}_{n}^{2}$ 82+…+${C}_{n}^{n}$•8n）+64+192n，
由于27（${C}_{n}^{2}$ 82+…+${C}_{n}^{n}$•8n）能被64整除，64+192n 也能被64整除，
∴3 2n+3-24 n+37能被64整除．
点评 本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{π}{3}$ | B． | $\frac{π}{6}$ | C． | -$\frac{π}{3}$ | D． | -$\frac{π}{6}$ |