Question

3．已知四边形ABCD为直角梯形，∠BCD=90°，AB∥CD，且AD=3，BC=2CD=4，点E，F分别在线段AD和BC上，使FECD为正方形，将四边形ABFE沿EF翻折至使二面角B-EF-C的所成角为60°
（Ⅰ）求证：CE∥面A′DB′
（Ⅱ）求直线A′B′与平面FECD所成角的正弦值

Answer 1

分析 （I）如图所示，取FB′的中点M，连接CM，A′M．可得四边形A′EMB′是平行四边形．A′B′∥EM．同理可得A′D∥CM，可得平面EMC∥平面A′DB′，即可证明CE∥面A′DB′．
（II）取DE的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．∠A′ED=∠B′FC=60°．平面EFCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．可得$cos＜\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}||\overrightarrow{n}|}$．可得直线A′B′与平面FECD所成角的正弦值=|$cos＜\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}，\overrightarrow{n}＞$|．

解答 （I）证明：如图所示，取FB′的中点M，连接CM，A′M．
∵A′E$\underset{∥}{=}$B′M，
∴四边形A′EMB′是平行四边形．
∴A′B′∥EM．
∵A′M$\underset{∥}{=}$CD，
∴四边形A′MCD是平行四边形，
∴A′D∥CM，
又∵CM∩EM=M，A′B′∩A′D=A′，
∴平面EMC∥平面A′DB′，
由CE?平面CME．
∴CE∥面A′DB′．
（II）解：取DE的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．∠A′ED=∠B′FC=60°．
则${B}^{′}（0，2，\sqrt{3}）$，A′$（\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}$=$（\frac{1}{2}，-2，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
平面EFCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．
∴$cos＜\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{-\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+4+\frac{3}{4}}×1}$=-$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴直线A′B′与平面FECD所成角的正弦值=|$cos＜\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题考查了面面平行的判定定理与性质定理、平行四边形的判定与性质、线面角、数量积运算性质、直角三角形的边角关系、法向量的应用，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．