Question

14．设x₁，x₂∈（0，$\frac{π}{2}$），且x₁≠x₂，下列不等式中成立的是（　　）
①$\frac{1}{2}（sin{x}_{1}+sin{x}_{2}）$＞sin$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$；
②$\frac{1}{2}$（cosx₁+cosx₂）＞cos$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$；
③$\frac{1}{2}$（tanx₁+tanx₂）＞tan$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$；
④$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{tan{x}_{1}}$+$\frac{1}{tan{x}_{2}}$）＞$\frac{1}{tan\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$．

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 分别取${x}_{1}=\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{π}{3}$验证①②不成立，取x₁=$\frac{π}{3}$，x₂=$\frac{π}{6}$验证③④成立，即可得答案．

解答 解：对于①，$\frac{1}{2}（sin{x}_{1}+sin{x}_{2}）$＞sin$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，取${x}_{1}=\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{π}{3}$，则$\frac{1}{2}（sin{x}_{1}+sin{x}_{2}）$
=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4}＜sin\frac{7π}{24}＜sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故①不成立，
对于②，$\frac{1}{2}$（cosx₁+cosx₂）＞cos$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，取${x}_{1}=\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{π}{3}$，则$\frac{1}{2}$（cosx₁+cosx₂）
=$\frac{\sqrt{2}+1}{4}＜cos\frac{7π}{24}＜cos\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故②不成立，
对于③，$\frac{1}{2}$（tanx₁+tanx₂）＞tan$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，取x₁=$\frac{π}{3}$，x₂=$\frac{π}{6}$，则$\frac{1}{2}$（tanx₁+tanx₂）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＞$tan\frac{π}{4}=1$，故③成立，
对于④，$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{tan{x}_{1}}$+$\frac{1}{tan{x}_{2}}$）＞$\frac{1}{tan\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，取x₁=$\frac{π}{3}$，x₂=$\frac{π}{6}$，则$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{tan{x}_{1}}$+$\frac{1}{tan{x}_{2}}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＞$tan\frac{π}{4}=1$，故④成立．
∴不等式中成立的是：③④．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．