Question

不等边△ABC中，三边长为a，b，c，且a+b=2c，若过△ABC的重心G和内心I的直线分该三角形两部分的面积为S₁，S₂，（S₁≤S₂），则S₁：S₂的值为

 

．

Answer 1

考点：三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：连接AG并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则IE为内切圆I的半径，设IE=r，根据三角形面积公式可求得即

IE

AH

的值，进而求得

AI

AF

的值，推断出IG∥BC，进而根据平行线段比例关系求得答案．

解答： 解：连接AG并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则IE为内切圆I的半径，连接GI交AB与G′，交AC与I′，
设IE=r．
S_△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

（AB+BC+CA）•r，
∵a+b=2c，即BC+AC=2AB，
∴

1

2

BC•AH=

1

2

•3BC•r，
∴

r

AH

=

1

3

，即

IE

AH

=

1

3

，
∵IE∥AH，
∴

IF

AF

=

IE

AH

=

1

3

，
∴

AI

AF

=

2

3

，
∵

AG

AD

=

2

3

，
∴IG∥BC，
∴△AG′I′∽△ABC，
∴S₁：S_△ABC=4：9，
∴S₁：S₂=4：5，
故答案为：

4

5

．

点评：本题主要考查了三角形面积公式的应用，三角形重心和内心的性质的应用．难度较大，是竞赛题常考的题型．