Question

17．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，可得AB⊥A₁A，在△ABC中，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°．由正弦定理得：∠ACB=30°，∠BAC=90°．AB⊥AC，再利用线面垂直的判定与性质定理即可证明AB⊥A₁C．
（Ⅱ）作AD⊥A₁C交A₁C于D，连接BD，由三垂线定理可得BD⊥A₁C．可得∠ADB为二面角A-A₁C-B的平面角，利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴AB⊥A₁A，
在△ABC中，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°．
由正弦定理得：$\frac{1}{sin∠ACB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$，∴sin∠ACB=$\frac{1}{2}$，∠ACB为锐角．
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°．
即AB⊥AC，又AA₁∩AC=A，
∴AB⊥侧面ACC₁A₁．
又∵AC₁?侧面ACC₁A₁．
∴AB⊥A₁C．
（Ⅱ）作AD⊥A₁C交A₁C于D，连接BD，
由三垂线定理可得BD⊥A₁C．
所以∠ADB为二面角A-A₁C-B的平面角，
在Rt△AA₁C中，$AD=\frac{{{A_1}A•AC}}{{{A_1}C}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
在Rt△BAD中，$tan∠ADB=\frac{AB}{AD}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴二面角A-A₁C-B的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面垂直的判定与性质、空间角、正弦定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．