Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为A，若直线AF与圆O：${x^2}+{y^2}=\frac{{3{a^2}}}{16}$相切，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$或$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 求得直线AF的方程，利用点到直线的距离公式，利用椭圆离心率公式，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：直线AF的方程为$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1$，即bx+cy-bc=0，
圆心O到直线AF的距离$d=\frac{{|{-bc}|}}{{\sqrt{{b^2}+{c^2}}}}=\frac{bc}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}a$，
两边平方整理得，16（a²-c²）c²=3a⁴，
于是16（1-e²）e²=3，解得${e^2}=\frac{1}{4}$或${e^2}=\frac{3}{4}$．
则e=$\frac{1}{2}$或e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．