Question

已知函数f（x）=|x+a|+|2x-1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤2x的解集包含[

1

2

，1]，求a的取值范围．

Answer 1

考点：带绝对值的函数

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）＞0的解集；
（2）由题意知，不等式可化为|x+a|+2x-1≤2x，即|x+a|≤1，解得-a-1≤x≤-a+1，
由f（x）≤2x的解集包含[

1

2

，1]，可得

-a-1≤ 1 2 -a+1≥1

，解出即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2，
①当x≥

1

2

时，不等式为3x≥2，解得x≥

2

3

，
故此时不等式f（x）≥2的解集为x≥

2

3

；
②当-1≤x＜

1

2

时，不等式为2-x≥2，解得x≤0，
故此时不等式f（x）≥2的解集为-1≤x＜0；
③当x＜-1时，不等式为-3x≥2，解得x≤-

2

3

，故x＜-1；
综上原不等式的解集为{x|x≤0或x≥

2

3

}；
（2）因为f（x）≤2x的解集包含[

1

2

，1]，
不等式可化为|x+a|+2x-1≤2x，即|x+a|≤1，
解得-a-1≤x≤-a+1，
由已知得

-a-1≤ 1 2 -a+1≥1

，解得-

3

2

≤a≤0
所以a的取值范围是[-

3

2

，0]．

点评：本题考查带绝对值的函数，考查分类讨论思想，属于中档题．