Question

16．已知函数f（x）=$\frac{3x}{x+1}$，x∈[-5，-2]．
（1）利用定义法判断函数的单调性；
（2）求函数值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性的定义判断即可．
（2）利用（1）的结论，求解函数的最值即可．

解答 解：（1）对x₁，x₂∈[-5，-2]，x₁＜x₂，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{3{x_1}}}{{{x_1}+1}}-\frac{{3{x_2}}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{3（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$，
由x₁-x₂＜0，x₁+1＜0，x₂+1＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以y=f（x）在[-5，-2]上单调递增．
（2）由（1）知$f{（x）_{min}}=f（-5）=\frac{15}{4}$，f（x）_max=f（-2）=6，
所以函数y=f（x）的值域为$[{\frac{15}{4}，6}]$．

点评 本题考查函数的单调性的证明与应用，考查计算能力．