Question

3．函数f（x）=e^x+x²+x+1与g（x）的图象关于直线2x-y-3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）和g（x）关于直线2x-y-3=0，则利用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可．

解答 解：∵f（x）=e^x+x²+x+1，
∴f′（x）=e^x+2x+1，
∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x-y-3=0对称，
∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．
直线2x-y-3=0的斜率k=2，
由f′（x）=e^x+2x+1=2，
即e^x+2x-1=0，
解得x=0，
此时对于的切点坐标为（0，2），
∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x-3，
两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x-y-3=0的最小距离，
此时d=$\frac{|-2-3|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查导数的应用以及两点间距离的求解，根据函数的对称性求出函数f（x）到直线的距离是解决本题的关键．