Question

8．若直线l：y=kx-1与曲线C：f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$没有公共点，则实数k的最大值为（　　）

• A． -1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 直线l：y=kx-1与曲线f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$没有公共点，则x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1无解，可化为k=1+$\frac{1}{x{e}^{x}}$，设g（x）=1+$\frac{1}{x{e}^{x}}$，求导，研究此函数的单调性即可解决

解答 解：若直线l：y=kx-1与曲线f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$没有公共点，则x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1无解，
∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0
则x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1可化为k=1+$\frac{1}{x{e}^{x}}$，
设g（x）=1+$\frac{1}{x{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{-（x+1）}{{x}^{2}{e}^{x}}$
∴g′（x）满足：在（-∞，-1）上g′（x）＞0，在（-1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，
∴g（x）满足：在（-∞，-1）上递增，在（-1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，
g（-1）=1-e，而当x→+∞时，g（x）→1，
∴g（x）的图象：

∴g（x）∈（-∞，1-e]∪（1，+∞）
无解时，k∈（1-e，1]，
∴k_max=1，
故选：C

点评 本题考查导数的应用，考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．