Question

4．已知函数f（x）的定义域为R，且对于?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立．
（1）若x≥0时，f（x）=${（{\frac{1}{2}}）^x}$，求不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$的解集；
（2）若f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，求f（x）在区间[2016，2017]上的解析式．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递减．由$f（x）＞\frac{1}{4}$得f（|x|）＞f（2），可得|x|＜2，解不等式即可得到所求解集；
（2）由条件可得f（-x+1）=f（x+1），结合f（x）=f（-x），可得f（x）是周期为2的函数．当x∈[2016，2017]时，x-2016∈[0，1]，由已知的解析式，即可得到所求函数的解析式．

解答 解：（1）由已知得f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递减．
∴由$f（x）＞\frac{1}{4}$得f（|x|）＞f（2），
∴|x|＜2，
∴-2＜x＜2，
∴原不等式的解集是{x|-2＜x＜2}．
（2）∵f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1）．
∵对于?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立．
∴f（x-1）=f（x+1）．
∴f（x）=f（x+2）．∴f（x）是周期为2的函数．
∵当x∈[2016，2017]时，x-2016∈[0，1]，且当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，
∴当x∈[2016，2017]时，f（x）=f（-x）=f（x-2016）=2^x-2016．
即当x∈[2016，2017]时，f（x）=2^x-2016．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断及应用，考查不等式的解法和函数的解析式的求法，注意运用函数的周期性，考查运算能力，属于中档题．